Factorizaciones cuadráticas

Te invito a aprender mediante un juego de cálculo mental.

1. Dime dos números que multiplicados den 8 y sumados den 6.

Razonamiento: 2 x 4 = 8 y 2 + 4 = 6
Respuesta: 2 y 4

2. Dime dos números que multiplicados den 16 y sumados den 10

Razonamiento: 2 x 8 = 16 y 2 + 8 = 10
Respuesta: 2 y 8

3. Dime dos números que sumados den 11 y multiplicados den 18.

Razonamiento: .......................................
Respuesta: ..............................................

4. Dime dos números que multiplicados den -8 y sumados den 2

Razonamiento: -2 x 4 = -8 y -2 + 4 = 2
Respuesta: -2 y 4
Recuerda que en la multiplicación menos por más igual a menos.
Y en la suma dos números de distinto signo se saca la diferencia y se deja el signo del mayor valor absoluto.

Veamos algunas posibilidades con el par de números 5 y 6
a) si los dos son positivos: 5 x 6 = 30 y 5+ 6 = 11
b) si 5 es negativo y 6 es positivo -5 x 6 = - 30 y -5 + 6 = 1
c) si ambos son negativos -5 x -6 = 30 y -5 + -6 = -11
d) si 5 es positivo y 6 es negativo quedan: ......................................

¿Para qué nos puede servir esto?
Nos sirve para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c = 0 en el producto de dos binomios.
Nota x2 corresponde a x al cuadrado

Ejemplo factorizar: x2+13x+40 = 0
Estamos buscando dos números que multiplicados den: 40 y sumados den 13.
Si elegimos 10 y 4 entonces 10 x 4 = 40 pero 10 + 4 = 14, no nos sirve.
Otra posibilidad es 8 y 5, entonces 8 x 5 = 40 y 8 + 5 = 13, esta posibilidad cumple las condiciones indicadas.
Entonces la factorización nos queda:

x2+13x+40 = (x + 8) ( x + 5) = 0

Si recordamos en que condiciones una multiplicación nos da cero, concluiremos que basta que uno de los factores sea cero, par que de este resultado.

En este caso los factores son dos binomios, luego cada uno por separado puede ser cero.
i) ( x + 8) = 0
ii) (x + 5) = 0

Resolvamos i) x + 8 = 0
x = -8 ( despejando la x)

Resolvamos ii) x + 5 = 0
x = -5 (despejando la x)

Ambos valores -5, -8 son raíces o soluciones de la ecuación x2+13x+40=0

Luego este método de factorización es un método simple y rápido de resolver una ecuación cuadrática de este tipo.

Ejercicios propuestos:

1. x2-15x+56= 0
2. x2-17x+70 =0
3. x2-20x+99 =0
4. x2-24x+63 = 0
5.x2-18x+77 = 0